ЦІЛА ТА ДРОБОВА ЧАСТИНА ЧИСЛА

Дробова частина числа (позначається ${\displaystyle \{x\}}$) — функція, визначена на множині дійсних чисел, яка дорівнює:

${\displaystyle \{x\}=x-\lfloor x\rfloor }$,

де ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ — ціла частина числа ${\displaystyle x}$.

Графік функції y(x) = {x} .

${\displaystyle \{1{,}25\}=1{,}25-1=0{,}25,}$

${\displaystyle \{-1{,}25\}=-1{,}25-(-2)=0{,}75,}$

${\displaystyle \{3\}=3-3=0,}$

${\displaystyle \{-2\}=-2-(-2)=0.}$

Властивості

• Область визначення — ${\displaystyle D(\{x\})=\mathbb {R} }$.
• Множина значень — ${\displaystyle E(\{x\})=[0;1)}$.
• Функція є періодичною з періодом ${\displaystyle T=1}$.

Ціла частина дійсного числа ${\displaystyle x}$ — найбільше ціле число, яке не більше ніж ${\displaystyle x}$. Ціла частина числа ${\displaystyle x}$зазвичай позначається як ${\displaystyle [x]}$.

Графік функції ${\displaystyle y=\lceil x\rceil }$

В інформатиці поряд з функцією ціла частина використовують функції підлога (англ. floor) та стеля (англ.ceiling). Функція підлога позначається як ${\displaystyle y=\lfloor x\rfloor }$ та збігається з цілою частиною, функція стеліпозначається як ${\displaystyle \lceil x\rceil }$ та дорівнює найменшому цілому числу, яке не менше за ${\displaystyle x}$.

Визначення за допомогою нерівностей такі:

${\displaystyle \lfloor x\rfloor =\max \,\{m\in \mathbb {Z} \mid m\leqslant x\},}$

${\displaystyle \lceil x\rceil =\min \,\{n\in \mathbb {Z} \mid n\geqslant x\}.}$

Позначення та приклади

Для цілої частини числа ${\displaystyle x}$ довгий час використовувалось позначення ${\displaystyle [x]}$, введене Гаусом.

В 1962 році Кеннет Айверсон запропонував заокруглення числа ${\displaystyle x}$ до найближчого цілого в меншу і більшу сторони називати «підлога» і «стеля» ${\displaystyle x}$ і позначати ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ і ${\displaystyle \lceil x\rceil }$ відповідно. У цих позначеннях ${\displaystyle [x]=\lfloor x\rfloor }$.

В сучасній математиці вживають обидва позначення, ${\displaystyle [x]}$ і ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$, однак існує тенденція переходу до термінології і позначенням Айверсона. Одна з причин цього — потенційна неоднозначність поняття «ціла частина числа»^[1]. Наприклад, ціла частина числа 2,7 рівна 2, але можливі дві думки на те, як визначити цілу частину числа −2,7. Відповідно до даного в цій статті визначення ${\displaystyle [x]\equiv \lfloor x\rfloor =-3}$, однак в деяких калькуляторах наявна функція цілої частини числа INT, для від'ємних чисел визначена як INT(-x) = -INT(x), таким чином INT(-2,7) = −2. В термінології Айверсона відсутні можливі неоднозначності:

${\displaystyle {\begin{matrix}\lfloor 2{,}7\rfloor =2,&\lfloor -2{,}7\rfloor =-3,\\\lceil 2{,}7\rceil =3,&\lceil -2{,}7\rceil =-2\end{matrix}}}$

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії

Розбираємо приклади